解答题
21.设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解的充分必要条件是A*b＝0．
【正确答案】设非齐次线性方程组AX＝b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而｜A｜＝0，
于是A*b＝A*AX＝｜A｜X＝0．
反之，设A*b＝0，因为b≠0，所以方程组A*X＝0有非零解，从而r(A*)＜n，又A11≠0，
所以r(A*)＝1，且r(A)＝n－1．
因为r(A*)＝1，所以方程组A*X＝0的基础解系含有n－1个线性无关的解向量，而
A*A＝0，所以A的列向量组a1，a2，…，an为方程组A*X＝0的一组解向量．
由A11≠0，得a2，…，an线性无关，所以a2，…，an是方程组A*X＝0的基础解系．
因为A*b＝0，所以b可由a2，…，an线性表示，也可由a1，a2，…，an线性表示，
故r(A)＝r(
于是A*b＝A*AX＝｜A｜X＝0．
反之，设A*b＝0，因为b≠0，所以方程组A*X＝0有非零解，从而r(A*)＜n，又A11≠0，
所以r(A*)＝1，且r(A)＝n－1．
因为r(A*)＝1，所以方程组A*X＝0的基础解系含有n－1个线性无关的解向量，而
A*A＝0，所以A的列向量组a1，a2，…，an为方程组A*X＝0的一组解向量．
由A11≠0，得a2，…，an线性无关，所以a2，…，an是方程组A*X＝0的基础解系．
因为A*b＝0，所以b可由a2，…，an线性表示，也可由a1，a2，…，an线性表示，
故r(A)＝r(
【答案解析】