解答题
设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f'(x)≥0，g'(x)≥0.证明：对任何a∈[0，1]，有
【正确答案】
【答案解析】[证] 令
则
F'(a)=g(a)f'(a)-f'(a)g(1)=f'(a)[g(a)-g(1)]．
因为x∈[0，1]时，f'(x)≥0，g'(x)≥0，即函数f(x)，g(x)在[0，1]上单调递增，又a≤1，所以
F'(z)=f'(a)[g(a)-g(1)]≤0，
即函数F(a)在[0，1]上单调递减，又
所以F(a)≥F(1)=0，即
即
则F'(a)=g(a)f'(a)-f'(a)g(1)=f'(a)[g(a)-g(1)]．
因为x∈[0，1]时，f'(x)≥0，g'(x)≥0，即函数f(x)，g(x)在[0，1]上单调递增，又a≤1，所以
F'(z)=f'(a)[g(a)-g(1)]≤0，
即函数F(a)在[0，1]上单调递减，又
所以F(a)≥F(1)=0，即
即