设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．
问答题
证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；
【正确答案】正确答案：S
1
(c)=cf(c)，S
2
(c)=∫
c
1
f(t)dt=一∫
1
c
f(t)dt，即证明S
1
(c)=S
2
(c)或cf(c)+∫
1
c
f(t)dt=0，令φ(x)=x∫
1
x
f(t)dt，φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)使得φ
'
(c)=0，即cf(c)+∫
1
c
f(t)dt=0，所以S
1
(c)=S
2
(c)，命题得证。
【答案解析】
问答题
设f(x)在(0，1)内可导，且f
'
(x)＞一
【正确答案】正确答案：令h(x)=xf(x)－∫
x
1
f(t)dt，因为h
'
(x)=2f(x)+xf
'
(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上为单调函数，所以(1)中的c是唯一的．
【答案解析】