某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将
熟练工支援其他生产部门，其缺额由新招收的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
成为熟练工。设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为x
n
和y
n
，记成α
n
=
(Ⅰ)求α
n+1
与α
n
的关系式，并写成矩阵形式：α
n+1
=Aα
n
；
(Ⅱ)求矩阵A的特征值与特征向量；
(Ⅲ)若α
0
=
熟练工支援其他生产部门，其缺额由新招收的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有
成为熟练工。设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为x
n
和y
n
，记成α
n
=
(Ⅰ)求α
n+1
与α
n
的关系式，并写成矩阵形式：α
n+1
=Aα
n
；
(Ⅱ)求矩阵A的特征值与特征向量；
(Ⅲ)若α
0
=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)依题意有
用矩阵表示，即为
(Ⅱ)令特征多项式
因此，得矩阵A的特征值λ
1
=1，λ
2
=
当λ=1时，由(E-A)x=0，得基础解系η
1
=
，因此矩阵A属于λ=1的特征向量是k
1
η
1
(k
1
≠0)。 当λ=
时，由(
E-A)x=0，得基础解系η
2
=
，因此矩阵A属于λ=
的特征向量是k
2
η
2
(k
2
≠0)。 (Ⅲ)设x
1
η
1
+x
2
η
2
=α
0
，即
于是α
0
=
η
2
，那么Aα
0
=
Aη
1
+
Aη
2
。故
用矩阵表示，即为
(Ⅱ)令特征多项式
因此，得矩阵A的特征值λ
1
=1，λ
2
=
当λ=1时，由(E-A)x=0，得基础解系η
1
=
，因此矩阵A属于λ=1的特征向量是k
1
η
1
(k
1
≠0)。 当λ=
时，由(
E-A)x=0，得基础解系η
2
=
，因此矩阵A属于λ=
的特征向量是k
2
η
2
(k
2
≠0)。 (Ⅲ)设x
1
η
1
+x
2
η
2
=α
0
，即
于是α
0
=
η
2
，那么Aα
0
=
Aη
1
+
Aη
2
。故
【答案解析】