甲、乙两人比赛射击，每个射击回合中取胜者得1分，假设每个射击回合中，甲胜的概率为a，乙胜的概率为β(α+β=1)，比赛进行到一人比另一人多2分为止，多2分者最终获胜．求甲、乙最终获胜的概率．比赛是否有可能无限地一直进行下去?
【正确答案】正确答案：设A={甲最终获胜}，B={乙最终获胜}．在前两次比赛中，若“甲连胜两个回合”，记为C
1
，则P(A｜C
1
)=1；若“乙连胜两个回合”，记为C
2
，则P(A｜C
2
)=0；若“甲、乙各胜一个回合”，记为C
3
，则前两个回合打平，从第三回合起，比赛相当于从头开始一样，所以P(A｜C
3
)=P(A)．显然 P(C
1
)=α
2
，P(C
2
)=β
2
，P(C
3
)=2αβ， 由全概率公式 P(A)=P(A｜C
1
)P(C
1
)+P(A｜C
2
)P(C
2
)+P(A｜C
3
)P(C
3
) =α
2
+0+2αβP(A) 得P(A)=
．同理有 P(B)=P(B｜C
1
)P(C
1
)+P(B｜C
2
)P(C
2
)+P(B｜C
3
)P(C
3
) =0+β
2
+2αβP(B)， 可得P(B)=
因
．同理有 P(B)=P(B｜C
1
)P(C
1
)+P(B｜C
2
)P(C
2
)+P(B｜C
3
)P(C
3
) =0+β
2
+2αβP(B)， 可得P(B)=
因
【答案解析】