解答题
3.
设α，β为三维列向量，矩阵A=αα
T
+ββ
T
，其中α
T
，β
T
分别为α，β的转置。
证明：
(Ⅰ)秩r(A)≤2；
(Ⅱ)若α，β线性相关，则r(A)＜2。
【正确答案】
(Ⅰ) r(A)=r(αα
T
+ββ
T
)≤r(αα
T
)+r(ββ
T
)≤r(α)+r(β)≤2。
(Ⅱ)若α，β线性相关，则存在不全为零的k
1
，k
2
使k
1
α+k
2
β=0，不妨设k
2
≠0，则β=kα，那么
r(A)=r[αα
T
+(kα)(kα)
T
]=r[(1+k
2
)αα
T
]=r(αα
T
)≤1＜2。
【答案解析】
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