解答题
3.设函数f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f'(0)=0，证明：在开区间(一1，1)内至少存在一点ξ，使f"'(ξ)=3．
【正确答案】由泰勒中值定理可知
f(x)=f(0)+f'(0)x+
f"'(η)x3
其中η介于0与x之间，x∈[一1，1]
分别令x=一1和x=1，并结合已知条件得
0=f(一1)=f(0)+
f"'(η1)，一1＜η1＜0
1=f(1)=f(0)+
f"'(η2)， 0＜η2＜1
两式相减可得
f"'(η1)+f"'(η2)=6
由f"'(x)的连续性，f"'(x)在闭区间[η1，η2]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有
m≤
[f"'(η1)+f"'(η2)]≤M
再由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[η1，η2]
(一1，1)
使 f"'(ξ)=
f(x)=f(0)+f'(0)x+
f"'(η)x3其中η介于0与x之间，x∈[一1，1]
分别令x=一1和x=1，并结合已知条件得
0=f(一1)=f(0)+
f"'(η1)，一1＜η1＜01=f(1)=f(0)+
f"'(η2)， 0＜η2＜1两式相减可得
f"'(η1)+f"'(η2)=6
由f"'(x)的连续性，f"'(x)在闭区间[η1，η2]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有
m≤
[f"'(η1)+f"'(η2)]≤M再由连续函数的介值定理知，至少存在一点ξ∈[η1，η2]
(一1，1)使 f"'(ξ)=
【答案解析】