解答题
设f(x)在[a，b]上有二阶导数，又f(a)=f(b)=0，且f'(a)f'(b)＞0．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0，又至少存在一点η∈(a，b)，使得f"(η)=0．
【正确答案】
【答案解析】由导数定义及其极限的保号性可找到两点x1，x2，使f(x1)f(x2)＜0．由零点定理知，存在ξ，使f(ξ)=0．现有三点函数取值为0，两次利用罗尔定理，例得证．
证 由f'(a)f'(b)＞0，不妨设f'(a)＞0，且f'(b)＞0．由导数定义知
因此存在δ1＞0，使得当z∈(a，a+δ1)时，有
因为x＞a，故有
f(x)＞f(a)，即f(x)＞0，x∈(a，a+δ1)．
又由于
故存在δ2＞0，使得当x∈(b-δ2，b)时，有
因为x＜b，所以
f(x)＜f(b)， 即 f(x)＜0，x∈(b-δ2，b)．
取δ1，δ2充分小，使a+δ1＜b-δ2．再取两点
x1∈(a，a+δ1)， x2∈(b-δ2，b)，
考虑区间[x1，x2]．显然f(x)在[x1，x2]上连续，且
f(x1)＞0， f(x2)＜0．
因此由连续函数介值定理知，至少存在一点ξ∈(x1，x2)，从而ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0．
再由f(a)=f(ξ)=f(b)及罗尔定理知，至少存在η1∈(a，ξ)和η2∈(ξ，b)，使得
f'(η1)=f'(η2)=0．
又在区间[η1，η2]上应用罗尔定理，便知至少存在η∈(η1，η2)
证 由f'(a)f'(b)＞0，不妨设f'(a)＞0，且f'(b)＞0．由导数定义知
因此存在δ1＞0，使得当z∈(a，a+δ1)时，有
因为x＞a，故有
f(x)＞f(a)，即f(x)＞0，x∈(a，a+δ1)．
又由于
故存在δ2＞0，使得当x∈(b-δ2，b)时，有
因为x＜b，所以
f(x)＜f(b)， 即 f(x)＜0，x∈(b-δ2，b)．
取δ1，δ2充分小，使a+δ1＜b-δ2．再取两点
x1∈(a，a+δ1)， x2∈(b-δ2，b)，
考虑区间[x1，x2]．显然f(x)在[x1，x2]上连续，且
f(x1)＞0， f(x2)＜0．
因此由连续函数介值定理知，至少存在一点ξ∈(x1，x2)，从而ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0．
再由f(a)=f(ξ)=f(b)及罗尔定理知，至少存在η1∈(a，ξ)和η2∈(ξ，b)，使得
f'(η1)=f'(η2)=0．
又在区间[η1，η2]上应用罗尔定理，便知至少存在η∈(η1，η2)