问答题
设f(x)与g(x)在[a，b]上连续，且同为单调不减(或同单调不增)函数，证明：
(b一a)∫
a
b
f(x)g(x)dx≥∫
a
b
f(x)dx∫
a
b
g(x)dx． (*)
【正确答案】正确答案：引进辅助函数 F(x)=(x一a)∫
a
x
f(t)g(t)dt一∫
a
x
f(t)dt∫
a
x
g(t)dt 转化为证明F(x)≥0(x∈[a，b])． 由F(a)=0， F'(x)=∫
a
x
f(t)g(t)dt+(x一a)f(x)g(x)一f(x)∫
a
x
g(t)dt—g(x)∫
a
x
f(t)dt =∫
a
x
f(t)[g(t)一g(x)]dt—∫
a
x
f(x)[g(t)一g(x)]dt =f[f(t)一f(x)][g(t)一g(x)]dt≥0(x∈[a，b]) 其中(x一a)f(x)g(x)=∫
a
x
f(x)g(x)dt，我们可得F(x)在[a，b]单调不减→F(x)≥F(a)=0(x∈[a，b])，特别有 F(b)≥0 即原式成立．
【答案解析】