解答题
19.设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(a)＝g(b)＝1，在(a，b)内f(x)，g(x)可导，且g(x)＋g'(x)≠0，f'(x)≠0．证明：
【正确答案】令φ(x)＝exg(x)，则由题设可知f(x)，φ(x)在[a，b]上满足柯西中值定理，于是存在ξ∈(a，b)，使得
又因为g(a)＝g(b)＝1，所以
(*)
又令φ(x)＝ex，则f(x)，φ(x)在[a，b]上满足柯西中值定理，于是存在η∈(a，b)，使得
(**)
由(*)、(**)可得
又因为g(a)＝g(b)＝1，所以
(*)又令φ(x)＝ex，则f(x)，φ(x)在[a，b]上满足柯西中值定理，于是存在η∈(a，b)，使得
(**)由(*)、(**)可得
【答案解析】【思路探索】
将η和ξ均看作变量，则上式可写成
辅助函数可令
将η和ξ均看作变量，则上式可写成辅助函数可令