解答题
19.过坐标原点作曲线y=ex的切线，该切线与曲线y=ex及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形记为D．
(Ⅰ)求D的面积A；
(Ⅱ)求D绕直线x=1旋转所成的旋转体的体积V．
(Ⅰ)求D的面积A；
(Ⅱ)求D绕直线x=1旋转所成的旋转体的体积V．
【正确答案】设切点坐标为P(x0，y0)，于是曲线y=ex在点P的切线斜率为
y'=
，
切线方程为 y—y0=
(x—x0)．
它经过点(0，0)，所以一y0=一x0
，代入求得x0=1，从而y0=
=e，切线方程为y=ex．
(Ⅰ)取水平条面积元素，
(积分∫0eln ydy为反常积分，
yln y=0来自洛必达法则)
(Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为
y'=
，切线方程为 y—y0=
(x—x0)．它经过点(0，0)，所以一y0=一x0
，代入求得x0=1，从而y0==e，切线方程为y=ex．(Ⅰ)取水平条面积元素，
(积分∫0eln ydy为反常积分，
yln y=0来自洛必达法则)(Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为
【答案解析】