问答题
某消费者的效用函数为U=0.5+R2，其中U为效用，R为收益(千元)。他有10000元钱，如果存在银行里，年利率为2%；如果全部投资于股票，估计一年中有40%的概率获得8000元的投资收益，60%的概率损失5000元。
(1)该消费者是风险爱好者、风险厌恶者还是风险中性?
(2)他是否会选择投资股票?
(3)如果投资股票，他的效用是多少?
(1)该消费者是风险爱好者、风险厌恶者还是风险中性?
(2)他是否会选择投资股票?
(3)如果投资股票，他的效用是多少?
【正确答案】
【答案解析】我们称符合下列特征的彩票为公平赌博：令R为该彩票的随机净收益(随机现金流入扣除现金流出以后的差额)，有E(R)=0，Var(R)＞0。
根据对待公平彩票的态度不同，我们可以将投资者划分为风险厌恶型投资者、风险喜好型投资者和风险中性投资者三大类。
令W为投资者在期初所拥有韵确定性财富，R为某公平赌博的随机净收益。如果EU(W+R)＜U(W)，则称该投资者为风险厌恶型投资者。可见，风险厌恶型投资者不喜欢公平赌博。
如果EU(W+R)＞U(W)，则称该投资者为风险喜好型投资者。可见，风险喜好型投资者喜欢公平赌博。
如果EU(W+R)=U(W)，则称该投资者为风险中性投资者。可见，风险中性投资者对公平赌博抱着无所谓的态度。
实际上，风险厌恶型投资者的效用函数为凹型的，满足U[E(R)]＞EU(R)，其中，R为某不确定性决策的随机后果向量，E(R)为该不确定性决策各种后果的期望值。
例如，假定某彩票仅有两种可能的结果R1和R2，即R=(R1，R2)，则对于风险厌恶型投资者来说，有：U[aR1+(1-a)R2]＞aU(R1)+(1-a)U(R2)。其中，a∈(0，1)为可能结果R1发生的概率，(1-a)为可能结果R2发生的概率。
风险喜好型投资者的效用函数为凸型的，满足U[E(R)]＜EU(R)。
仍以上述有两种可能结果的彩票为例，对于风险喜好型投资者来说，有：
U[aR1+(1-a)R2]＜aU(R1)+(1-a)U(R2)
风险中性投资者的效用函数为线性的，满足U[E(R)]=EU(R)。
以上述有两种可能结果的彩票为例，对于风险中性投资者来说，有：
U[aR1+(1-a)R2]=aU(R1)+(1-a)U(R2)
三类投资者效用函数的几何形式如下图所示：
可见，风险厌恶型投资者的效用函数U=U(R)的一次导数大于零，二次导数小于零；风险喜好型投资者的效用函数U=U(R)的一次导数和二次导数均大于零；而风险中性投资者的效用函数U=U(R)的一次导数大于零，二次导数等于零。
就本题来说，已知该投资者的效用函数为U=0.5+R2，其一次导数
=2R＞0，二次导数
根据对待公平彩票的态度不同，我们可以将投资者划分为风险厌恶型投资者、风险喜好型投资者和风险中性投资者三大类。
令W为投资者在期初所拥有韵确定性财富，R为某公平赌博的随机净收益。如果EU(W+R)＜U(W)，则称该投资者为风险厌恶型投资者。可见，风险厌恶型投资者不喜欢公平赌博。
如果EU(W+R)＞U(W)，则称该投资者为风险喜好型投资者。可见，风险喜好型投资者喜欢公平赌博。
如果EU(W+R)=U(W)，则称该投资者为风险中性投资者。可见，风险中性投资者对公平赌博抱着无所谓的态度。
实际上，风险厌恶型投资者的效用函数为凹型的，满足U[E(R)]＞EU(R)，其中，R为某不确定性决策的随机后果向量，E(R)为该不确定性决策各种后果的期望值。
例如，假定某彩票仅有两种可能的结果R1和R2，即R=(R1，R2)，则对于风险厌恶型投资者来说，有：U[aR1+(1-a)R2]＞aU(R1)+(1-a)U(R2)。其中，a∈(0，1)为可能结果R1发生的概率，(1-a)为可能结果R2发生的概率。
风险喜好型投资者的效用函数为凸型的，满足U[E(R)]＜EU(R)。
仍以上述有两种可能结果的彩票为例，对于风险喜好型投资者来说，有：
U[aR1+(1-a)R2]＜aU(R1)+(1-a)U(R2)
风险中性投资者的效用函数为线性的，满足U[E(R)]=EU(R)。
以上述有两种可能结果的彩票为例，对于风险中性投资者来说，有：
U[aR1+(1-a)R2]=aU(R1)+(1-a)U(R2)
三类投资者效用函数的几何形式如下图所示：
可见，风险厌恶型投资者的效用函数U=U(R)的一次导数大于零，二次导数小于零；风险喜好型投资者的效用函数U=U(R)的一次导数和二次导数均大于零；而风险中性投资者的效用函数U=U(R)的一次导数大于零，二次导数等于零。
就本题来说，已知该投资者的效用函数为U=0.5+R2，其一次导数
=2R＞0，二次导数