问答题
已知A是3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是线性无关的3维列向量组，满足
Aα
1
= —α
1
—3α
2
—3α
3
，
Aα
2
=4α
1
+4α
2
+α
3
．
Aα
3
= —2α
1
+3α
3
．
问答题
求A的特征值．
【正确答案】正确答案：记P=(α
1
，α
2
，α
3
)，因为α
1
，α
2
，α
3
是线性无关，所以P是可逆矩阵． AP=(Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
) =(—α
1
—3α
2
—3α
3
，4α
1
+4α
2
+α
3
，—2α
1
+3α
3
) =(α
1
，α
2
，α
3
)
．(此处用了矩阵分解) 记B=
，则AP=PB，即P
—1
AP=B，A与B相似，特征值一样． |λE—B|=
．(此处用了矩阵分解) 记B=
，则AP=PB，即P
—1
AP=B，A与B相似，特征值一样． |λE—B|=
【答案解析】
问答题
求A的特征向量．
【正确答案】正确答案：先求B的特征向量，用P乘之得到A的特征向量．(如果Bη=λη，则P
—1
APη=λη，即A(Pη)=λ(Pη)) 对于特征值1： B—E=
B的属于特征值1的特征向量(即(B—E)x=0的非零解)为 c(1，1，1)
T
，c≠0． 则A的属于特征值1的特征向量为c(α
1
+α
2
+α
3
)
T
，c≠0． 对于特征值2： B—2E=
B的属于特征值2的特征向量(即(B—2E)x=0的非零解)为 c(2，3，3)
T
，c≠0． 则A的属于特征值2的特征向量为c(2α
1
+3α
2
+3α
3
)
T
，c≠0． 对于特征值3： B—3E=
B的属于特征值1的特征向量(即(B—E)x=0的非零解)为 c(1，1，1)
T
，c≠0． 则A的属于特征值1的特征向量为c(α
1
+α
2
+α
3
)
T
，c≠0． 对于特征值2： B—2E=
B的属于特征值2的特征向量(即(B—2E)x=0的非零解)为 c(2，3，3)
T
，c≠0． 则A的属于特征值2的特征向量为c(2α
1
+3α
2
+3α
3
)
T
，c≠0． 对于特征值3： B—3E=
【答案解析】
问答题
求A
*
—6E的秩．
【正确答案】正确答案：由于A的特征值为1，2，3，|A|=6．所以A
*
的特征值为6，3，2，A
*
—6E的特征值为0，—3，—4． 于是A
*
—6E～
【答案解析】