问答题
设
问答题
求
与
与
【正确答案】正确答案：
【答案解析】
问答题
求J
1
=∫
L
P(x，y)dx+Q(x，y)dy，其中L是椭圆周2x
2
+3y
2
=1，取逆时针方向．
【正确答案】正确答案：可考虑用格林公式求J
1
．曲线L：
围成区域记为D
1
．P(x，y)，Q(x，y)当(x，y)≠(一1，0)时处处有连续偏导，(一1，0)∈D
1
，又
于是在D
1
上可用格林公式得 ∫
L
Pdx+Qdy=
围成区域记为D
1
．P(x，y)，Q(x，y)当(x，y)≠(一1，0)时处处有连续偏导，(一1，0)∈D
1
，又
于是在D
1
上可用格林公式得 ∫
L
Pdx+Qdy=
【答案解析】
问答题
求J
2
=∫
C
P(x，y)dx+Q(x，y)dy，其中C是圆周x
2
+y
2
=3
2
，取逆时针方向．
【正确答案】正确答案：因为
也考虑用格林公式计算J
2
．因为P，Q在点(一1，0)处没定义，所以不能在C围成的区域D
2
上直接用格林公式．但可在D
2
中挖掉以(一1，0)为圆心，ε>0充分小为半径的圆所余下的区域中用格林公式见下图．求解如下：
以(一1，0)为圆心ε>0充分小为半径作圆周C
ε
-
(取顺时针方向)，C
ε
与C围成的区域记为D
ε
，在D
ε
上用格林公式得 ∫
C
Pdx+Qdy+∫
Cε-
Pdx+Qdy=
=> J
2
∫
C
Pdx+Qdy=- ∫
Cε-
Pdx+Qdy=∫
Cε+
Pdx+Qdy (*) 其中C
ε
+
取逆时针方向． 用“挖洞法”求得(*)式后，可用C
ε
的方程 (x+1)
2
+y
2
=ε
2
简化被积表达式，然后用格林公式得
也考虑用格林公式计算J
2
．因为P，Q在点(一1，0)处没定义，所以不能在C围成的区域D
2
上直接用格林公式．但可在D
2
中挖掉以(一1，0)为圆心，ε>0充分小为半径的圆所余下的区域中用格林公式见下图．求解如下：
以(一1，0)为圆心ε>0充分小为半径作圆周C
ε
-
(取顺时针方向)，C
ε
与C围成的区域记为D
ε
，在D
ε
上用格林公式得 ∫
C
Pdx+Qdy+∫
Cε-
Pdx+Qdy=
=> J
2
∫
C
Pdx+Qdy=- ∫
Cε-
Pdx+Qdy=∫
Cε+
Pdx+Qdy (*) 其中C
ε
+
取逆时针方向． 用“挖洞法”求得(*)式后，可用C
ε
的方程 (x+1)
2
+y
2
=ε
2
简化被积表达式，然后用格林公式得
【答案解析】