解答题
21.设二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋x32－2x1x2－2x1x3＋2ax2x3(a<0)通过正交变换化为标准形2y12+2y22+by32．
(Ⅰ)求常数a，b的值；
(Ⅱ)求正交变换矩阵；
(Ⅲ)当｜X｜＝1时，求二次型的最大值．
(Ⅰ)求常数a，b的值；
(Ⅱ)求正交变换矩阵；
(Ⅲ)当｜X｜＝1时，求二次型的最大值．
【正确答案】(Ⅰ)令
，
则 f(x1，x2，x3)＝XTAX．因为二次型经过正交变换化为2y12＋2y22＋by32，所以矩阵A的特征值为λ1＝λ2＝2，λ3＝b．由特征值的性质得
解得a＝﹣1，b＝﹣1．
(Ⅱ)当λ1＝λ2＝2时，由(2E－A)X＝0，得
当λ3＝﹣1时；由(﹣E－A)X＝0，得
令
，
单位化得
，则 f(x1，x2，x3)＝XTAX．因为二次型经过正交变换化为2y12＋2y22＋by32，所以矩阵A的特征值为λ1＝λ2＝2，λ3＝b．由特征值的性质得
解得a＝﹣1，b＝﹣1．(Ⅱ)当λ1＝λ2＝2时，由(2E－A)X＝0，得
当λ3＝﹣1时；由(﹣E－A)X＝0，得令
，单位化得
【答案解析】