解答题
9.设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足
Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．
(1)求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B．
(2)求A的特征值．
(3)求作可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．
Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．
(1)求作矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B．
(2)求A的特征值．
(3)求作可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．
【正确答案】(1)在第二章中，已经用矩阵分解求出
(2)由于α1，α2，α3线性无关，(α1，α2，α3)是可逆矩阵，并且(α1，α2，α3)－1A(α1，α2，α3)=B，因此A和B相似，特征值相同．
B的特征值为1，1，4．A的特征值也为1，1，4
(3)先把B对角化．求出B的属于1的两个线性无关的特征向量(1，－1，0)T，(0，2，－1)T；求出B的属于4的一个特征向量(0，1，1)T．构造矩阵
令P=(α1，α2，α3)D=(α1－α2，2α2－α3，α2+α3)，则
P－1AP=D－1(α1，α2，α3)－1A(α1，α2，α3)D=D－1BD=
(2)由于α1，α2，α3线性无关，(α1，α2，α3)是可逆矩阵，并且(α1，α2，α3)－1A(α1，α2，α3)=B，因此A和B相似，特征值相同．
B的特征值为1，1，4．A的特征值也为1，1，4
(3)先把B对角化．求出B的属于1的两个线性无关的特征向量(1，－1，0)T，(0，2，－1)T；求出B的属于4的一个特征向量(0，1，1)T．构造矩阵
令P=(α1，α2，α3)D=(α1－α2，2α2－α3，α2+α3)，则
P－1AP=D－1(α1，α2，α3)－1A(α1，α2，α3)D=D－1BD=
【答案解析】