设

F(x)=

则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且

F'(x)=g(x)f'(x)-f'(x)g(1)=f'(x)[g(x)-g(1)]

由于x∈[0，1]，f'(x)≥0，g'(x)≥0，因此F'(x)≤0，即F(x)在[0，1]上单调递减。

注意到

F(1)=

而

故F(1)=0。

因此x∈[0，1]时，F(x)≥0，由此可得对任何a∈[0，1]，有