已知矩阵A=
【正确答案】正确答案：因λ=5是矩阵A的特征值，则由 ｜5E-A｜=
=3(4-a
2
)=0， 可得a=±2。 当a＞0，即a=2时，则由矩阵A的特征多项式 ｜λE-A｜=
=(λ-2)(λ-5)(λ-1)=0， 可得矩阵A的特征值是1，2，5。 由(E-A)x=0，得基础解系α
1
=(0，1，-1)
T
； 由(2E-A)x=0，得基础解系α
2
=(1，0，0)
T
； 由(5E-A)x=0，得基础解系α
3
=(0，1，1)
T
。 即矩阵A属于特征值1，2，5的特征向量分别是α
1
，α
2
，α
3
。 由于A为实对称矩阵，且实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故只需将以上特征向量单位化，即有 γ
1
=
，γ
2
=
，γ
3
=
那么，令Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=
，则有Q
-1
AQ=
=3(4-a
2
)=0， 可得a=±2。 当a＞0，即a=2时，则由矩阵A的特征多项式 ｜λE-A｜=
=(λ-2)(λ-5)(λ-1)=0， 可得矩阵A的特征值是1，2，5。 由(E-A)x=0，得基础解系α
1
=(0，1，-1)
T
； 由(2E-A)x=0，得基础解系α
2
=(1，0，0)
T
； 由(5E-A)x=0，得基础解系α
3
=(0，1，1)
T
。 即矩阵A属于特征值1，2，5的特征向量分别是α
1
，α
2
，α
3
。 由于A为实对称矩阵，且实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故只需将以上特征向量单位化，即有 γ
1
=
，γ
2
=
，γ
3
=
那么，令Q=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=
，则有Q
-1
AQ=
【答案解析】