问答题
假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克．求： (I)100个螺丝钉一袋的重量超过5．1千克的概率； (Ⅱ)每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4％的重量超过5．1千克的概率．
【正确答案】正确答案：(I)假设X
i
表示袋中第i颗螺丝钉的重量，i=1，…，100，则X
1
,…，X
100
相互独立同分布，EX
i
=50，DX
i
=5
2
．记一袋螺丝钉的重量为S
100
，则
ES
100
=5000，DS
100
=2500． 应用列维一林德伯格中心极限定理可知S
100
近似服从正态分布N(5000，50
2
)，且P{S
100
＞5100}=1一P{S
100
≤5100}=
≈1一ψ(2)=0．02275． (Ⅱ)设500袋中重量超过5．1千克的袋数为Y，则Y服从参数n=500，P=0．02275的二项分布．EY=11．375，DY=11．116．应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，可知Y近似服从参数μ=11．375，σ
2
=11．116的正态分布，于是
ES
100
=5000，DS
100
=2500． 应用列维一林德伯格中心极限定理可知S
100
近似服从正态分布N(5000，50
2
)，且P{S
100
＞5100}=1一P{S
100
≤5100}=
≈1一ψ(2)=0．02275． (Ⅱ)设500袋中重量超过5．1千克的袋数为Y，则Y服从参数n=500，P=0．02275的二项分布．EY=11．375，DY=11．116．应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，可知Y近似服从参数μ=11．375，σ
2
=11．116的正态分布，于是
【答案解析】