解答题
设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3，
问答题
证明：β，Aβ，A2β线性无关．
【正确答案】
【答案解析】[证]设k1β+k2Aβ+k3A2β=0， ①
由题设Aai=αi(i=1，2，3)，于是
Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3 ②
A2β=A2α1+A2α2+A2α3=
③
将②，③代入①式整理得
因为α1，α2，α3为三个不同的特征值所对应的特征向量，所以线性无关，于是有
由题设Aai=αi(i=1，2，3)，于是
Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3 ②
A2β=A2α1+A2α2+A2α3=
③将②，③代入①式整理得
因为α1，α2，α3为三个不同的特征值所对应的特征向量，所以线性无关，于是有
问答题
若A3β=Aβ，求秩r(A-E)及行列式|A+2E|．
【正确答案】
【答案解析】由A3β=Aβ有
令P=[β，Aβ，A2β]，则P=[β，Aβ，A2β]可逆，且
从而有
令P=[β，Aβ，A2β]，则P=[β，Aβ，A2β]可逆，且
从而有