设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求：
(Ⅰ)U=XY的概率密度f
U
(u)；
(Ⅱ)V=|X－Y|的概率密度f
V
(v)．
【正确答案】正确答案：由于X与Y相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方法：分布函数法与公式法求出U、V的概率密度． (Ⅰ)分布函数法．由题设知(X，Y)联合概率密度 f(x，y)=f
X
(x)f
Y
(y)
所以U=XY的分布函数为(如图3．3)
F
U
(u)=P{XY≤u}=
f(x，y)dxdy． 当u≤0时，F
U
(u)=0；当u≥1时，F
U
(u)=1；当0＜u＜1时， F
U
(u)=∫
0
u
du∫
0
1
dy+∫
u
1
dx∫
0
u／x
dy=u+∫
u
1
u／xdx=u－ulinu． 综上得
(Ⅱ)公式法．记Z=X－Y=X+(－Y)，其中X与(－Y)独立，概率密度分别为
由卷积公式得Z的概率密度 f
Z
(z)=∫
－∞
+∞
(z－y)f
－Y
(y)dy=∫
－1
0
f
X
(z－y)dy
V=|X－Y|=|Z|的分布函数为F
V
(v)=P{|Z|≤v}，易得 当v≤0时，F
V
(v)=0；当v＞0时，F
V
(v)=P{－v≤Z≤v}=∫
－v
v
(z)dz； 由此知，当0＜v＜1时，F
V
(v)=∫
－v
0
(x+1)+∫
0
v
(1－z)=2v－v
2
； 当v≥1时，F
V
(v)=∫
－v
－1
0dz+∫
－1
0
(z+1)dz+∫
0
1
(1－z)dz+∫
1
v
0dz=1． 综上得F
V
(v)
所以U=XY的分布函数为(如图3．3)
F
U
(u)=P{XY≤u}=
f(x，y)dxdy． 当u≤0时，F
U
(u)=0；当u≥1时，F
U
(u)=1；当0＜u＜1时， F
U
(u)=∫
0
u
du∫
0
1
dy+∫
u
1
dx∫
0
u／x
dy=u+∫
u
1
u／xdx=u－ulinu． 综上得
(Ⅱ)公式法．记Z=X－Y=X+(－Y)，其中X与(－Y)独立，概率密度分别为
由卷积公式得Z的概率密度 f
Z
(z)=∫
－∞
+∞
(z－y)f
－Y
(y)dy=∫
－1
0
f
X
(z－y)dy
V=|X－Y|=|Z|的分布函数为F
V
(v)=P{|Z|≤v}，易得 当v≤0时，F
V
(v)=0；当v＞0时，F
V
(v)=P{－v≤Z≤v}=∫
－v
v
(z)dz； 由此知，当0＜v＜1时，F
V
(v)=∫
－v
0
(x+1)+∫
0
v
(1－z)=2v－v
2
； 当v≥1时，F
V
(v)=∫
－v
－1
0dz+∫
－1
0
(z+1)dz+∫
0
1
(1－z)dz+∫
1
v
0dz=1． 综上得F
V
(v)
【答案解析】