解答题
已知三角形周长为2p．试求此三角形绕自己的一边旋转时所构成的旋转体体积的最大值．
【正确答案】
【答案解析】[解] 设三角形的三边分别为x，y，z，不妨设它绕AC边旋转，AC边上的高为h，面积为s，(如图所示)于是
则旋转体积为
其中x+y+z=2p．
为简便即求u=ln(p-x)+ln(p-y)+ln(p-z)-lny在条件x+y+z=2p之下的驻点．
令F(x，y，z)=ln(p-x)+ln(p-y)+ln(p-z)-lny+λ(x+y+z-2p)
解方程组
解这类方程通常是将含λ的项移到等式的右边，然后两式相除，消去λ，得两变量之间的关系式．
由
①'÷②'得：p(p-x)=y(p-y)， ⑤
①'÷③'得：x=z． ⑥
再将④，⑤，⑥联立，解之，得
故V的最大值为
则旋转体积为其中x+y+z=2p．
为简便即求u=ln(p-x)+ln(p-y)+ln(p-z)-lny在条件x+y+z=2p之下的驻点．
令F(x，y，z)=ln(p-x)+ln(p-y)+ln(p-z)-lny+λ(x+y+z-2p)
解方程组
解这类方程通常是将含λ的项移到等式的右边，然后两式相除，消去λ，得两变量之间的关系式．
由
①'÷②'得：p(p-x)=y(p-y)， ⑤
①'÷③'得：x=z． ⑥
再将④，⑤，⑥联立，解之，得
故V的最大值为