【正确答案】(Ⅰ)因为矩阵A－6E不可逆，所以λ＝6是矩阵A的一个特征值；另一方面，因为α₁，α₂是齐次线性方程组Ax＝0的基础解系，所以λ＝0是矩阵A的二重特征值，所以A的特征值为0，0，6。
齐次线性方程组(A－6E)x＝0的通解是矩阵A的属于特征值λ＝6的特征向量。因为A为3阶实对称矩阵，因此属于不同特征值的特征向量正交。
设α₃＝(x₁，x₂，x₃)^T是矩阵A的属于特征值λ＝6的一个特征向量，则
(α₁，α₃)＝0，(α₂，α₃)＝0，
解得α₃＝(﹣1，﹣2，1)^T，所以齐次线性方程组(A－6E)x＝0的通解为kα₃，k为任意常数。
(Ⅱ)将向量组α₁，α₂，α₃正交化。令
β₁＝α₁，β₂＝α₂－＝(﹣1，0，﹣1)^T，β₃＝α₃，
再将向量组β₁，β₂，β₃单位化。令
，
令，
则二次型x^TAx在正交变换x＝Qy下的标准形为6y₃²。
(Ⅲ)
所以