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由题知，若 A²x = 0 与 Ax = 0 同解，则三秩相同，

即

如果 A 可逆，三秩显然相同，则 A²x = 0 与 Ax = 0 同解，于是要想 A²x = 0 与 Ax =0 不同解，即 A 不可逆，于是|A| = 0 。根据行列式的倍加性质易得