【正确答案】(Ⅰ)记D_n=|A|，以下用数学归纳法证明D_n=(n+1)aⁿ．当n=1时，D₁=2a，结论成立；当n=2时，
D₂==3a²=(n+1)aⁿ
结论成立；假设结论对于小于n的情况成立．将D_n按第1行展开，得
D_n= 2aD_n一1一
=2aD_n一1一a²D_n一2(代入归纳假设D_k=(k+1)a^k，k＜n)
= 2ana^n一1一a²(n一1)a^n一2=(n+1)aⁿ
故|A|=(n+1)aⁿ．
(Ⅲ)当a=0时，方程组为

【答案解析】本题综合考查高阶行列式的计算、线性方程组解的判定及其求解方法．注意当a=0时，方程组为：x₂=1，x₃=0，…，x_n=0，由于系数矩阵右上角的n一1阶子式非零，故选取x₂，…，x_n为约束未知量，而x₁为自由未知量，令x₁=0，便得Ax=b的一个特解为η=(0，1，0，…，0)^T，在对应齐次方程组Ax=0中，令自由未知量x₁=1，便得Ax=0的基础解系为ξ=(1，0，0，…，0)^T，于是由解的结构定理便得Ax=b的通解为x=η+kξ．