求下列可降阶的高阶微分方程的通解．
(1)x
2
y”=(y’)
2
+2xy’；
(2)(1+x)y”+y’=ln(x+1)；
(3)1+yy”+(y’)
2
=0；
(4)y”=1+(y’)
2
．
【正确答案】正确答案：(1)方程中不显含y，故令y’=p，则
代入原方程，原方程变形为
即
此方程为伯努利方程，再令
则有
(2)令y’]p，则y”=p’，原方程化为 (x+1)p’+p=ln(x+1)，
分离变量并积分，原方程通解为 y=(x+C
1
)ln(x+1)-2x+C
2
． (3)令p=y’，方程中不显含x，故
原方程化为
(4)令p=y’，则原方程化为p’=1+p
2
，即
代入原方程，原方程变形为
即
此方程为伯努利方程，再令
则有
(2)令y’]p，则y”=p’，原方程化为 (x+1)p’+p=ln(x+1)，
分离变量并积分，原方程通解为 y=(x+C
1
)ln(x+1)-2x+C
2
． (3)令p=y’，方程中不显含x，故
原方程化为
(4)令p=y’，则原方程化为p’=1+p
2
，即
【答案解析】