问答题
过坐标原点作曲线y＝e
x
的切线，该切线与曲线y＝e
x
以及x轴围成的向z轴负向无限伸展的平面图形记为D．求：
(I)D的面积A；
(Ⅱ)D绕直线X＝1旋转一周所成的旋转体的体积V．
【正确答案】正确答案：如图所示，设切点坐标为P(x
0
，y
0
)，于是曲线y＝e
x
在点P的切线斜率为y
’
(x
0
)＝e
x0
，切线方程为y－y
0
＝e
x0
(x－x
0
)．它经过点(0，0)，所以－y
0
＝－x
0
e
x0
．又因y
0
＝e
x0
，代入求得x
0
＝1，从而y
0
＝e
x0
＝e，切线方程为y＝ex．
(I)取水平条面积元素，则D的面积
(积分∫
0
e
ln ydy为反常积分，根据洛必达法则得到
yln y＝0)． (Ⅱ)D绕直线x＝1旋转一周所成的旋转体的体积微元为
(I)取水平条面积元素，则D的面积
(积分∫
0
e
ln ydy为反常积分，根据洛必达法则得到
yln y＝0)． (Ⅱ)D绕直线x＝1旋转一周所成的旋转体的体积微元为
【答案解析】