解答题
20.设函数y＝f(x)存在二阶导数，且f’(x)≠0．
(I)请用y＝f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示
；
(Ⅱ)求满足微分方程
的x与y所表示的关系式的曲线，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为
，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为
(I)请用y＝f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示
；(Ⅱ)求满足微分方程
的x与y所表示的关系式的曲线，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为
【正确答案】(I)由反函数的导数公式，有
(Ⅱ)将(I)中求得的
代入所给微分方程(*)中，得
将(**)式中z看成函数，y看成自变量，(**)式成为x对y的二阶常系数非齐次线性微分方程．按通常方法解之，得
x＝C1ey﹢C2e－3y﹢
再由条件：x＝1时y＝0，
，代入上式得
(Ⅱ)将(I)中求得的
代入所给微分方程(*)中，得将(**)式中z看成函数，y看成自变量，(**)式成为x对y的二阶常系数非齐次线性微分方程．按通常方法解之，得
x＝C1ey﹢C2e－3y﹢
再由条件：x＝1时y＝0，
，代入上式得【答案解析】