解答题
17.f(x)在[-1,1]上三阶连续可导，且f(-1)=0,f(1)=1,f'(0)=0,证明：存在ε∈（-1,1）,使得f"'(ε)=3.
【正确答案】
两式相减得f"'(ε1)+f(ε2)=6
因为f(x)在[-1,1]上三阶连续可导，所以f"'(x)在[ε1,ε2]上连续，由连续函数最值定理，f"'(x)在[ε1,ε2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f"'(ε1))+f"'(ε2)≤2M，即m≤3≤M.由闭区间上连续函数介值定理，存在ε∈[ε1,ε2]
两式相减得f"'(ε1)+f(ε2)=6
因为f(x)在[-1,1]上三阶连续可导，所以f"'(x)在[ε1,ε2]上连续，由连续函数最值定理，f"'(x)在[ε1,ε2]上取到最小值m和最大值M，故2m≤f"'(ε1))+f"'(ε2)≤2M，即m≤3≤M.由闭区间上连续函数介值定理，存在ε∈[ε1,ε2]
【答案解析】