【正确答案】设zx∈(a，b)时，f"(x)＞0，又λ₁＞0，λ₂＞0是满足条件λ₁+λ₂=1的任意数．如x₁，x₂是区间(a，b)中的两点，且x₁＜x₂，于是点λ₁x₁+λ₂x₂显然在其间．根据拉格朗日公式得
   f(λ₁x₁+λ₂x₂)-f(x₁)=λ₂(x₂-x₁)f'(ξ₁) (1)其中x₁＜ξ₁＜λ₁x₁+λ₂x₂；
   f(x₂)-f(λ₁x₁+λ₂x₂)=λ₁(x₂-x₁)f'(ξ₂)  (2)其中λ₁x₁+λ₂x₂＜ξ₂＜x₂
   用λ₂乘以式(1)两端，λ₂乘以式(2)两端，然后相减得
   λ₂f(x₂)+λ₁f(x₁)=f(λ₁x₁+λ₂x₂)+λ₁λ₂(x₂-x₁)(ξ₂-ξ₁)f"(ξ₃)    (3)ξ₁＜ξ₃＜ξ₂．由于λ₁＞0，λ₂＞0及f"(ξ₃)＞0，得
   λ₂f(x₂)+λ₁f(x₁)＞f(λ₁x₁+λ₂x₂)，即f(x)在(a，b)上是下凸的
   若在(a，b)上有f"(x)＜0，则函数φ(x)=-f(x)由已证明的结果知其于(a，b)上为下凸，即
   λ₁φ₁(x₁)+λ₂φ₂(x₂)＞φ(λ₁x₁+λ₂x₂)．
   由此得
   λ₁f(x₁)+λ₂f₂(x₂)＜f(λ₁x₁+λ₂x₂)，即f(x)在区间(a，b)上为上凸．