解答题
19.设函数f(x)在(0，+∞)上二阶可导，且f''(x)＞0，记un=f(n)，n=1，2，…，又u1＜u2，证明
【正确答案】对函数f(x)分别在区间[k，k+1](k=1，2，…，n，…)上使用拉格朗日中值定理
u2一u1=f(2)一f(1)=f'(ξ1)＞0，1＜ξ1＜2，
…………
un-1一un-2=f(n一1)一f(n一2)=f'(ξn-2)，n一2＜ξn-2＜n一1，un一un-1=f(n)一f(n一1)=f'(ξn-1)，n一1＜ξn-1＜n。因f''(x)＞0，故f'(x)严格单调增加，即有f'(ξn-1)＞f'(ξn-2)＞…＞f'(ξ2)＞f'(ξ1)=u2一u1，则un=(un一un-1)+(un-1一un-2)+…+(u2一u1)+u1=f'(ξn-1)+f'(ξn-2)+…+f'(ξ1)+u1＞f'(ξ1)+f'(ξ1)+…+f'(ξ1)+u1
=(n一1)(u2一u1)+u1，
于是有
u2一u1=f(2)一f(1)=f'(ξ1)＞0，1＜ξ1＜2，
…………
un-1一un-2=f(n一1)一f(n一2)=f'(ξn-2)，n一2＜ξn-2＜n一1，un一un-1=f(n)一f(n一1)=f'(ξn-1)，n一1＜ξn-1＜n。因f''(x)＞0，故f'(x)严格单调增加，即有f'(ξn-1)＞f'(ξn-2)＞…＞f'(ξ2)＞f'(ξ1)=u2一u1，则un=(un一un-1)+(un-1一un-2)+…+(u2一u1)+u1=f'(ξn-1)+f'(ξn-2)+…+f'(ξ1)+u1＞f'(ξ1)+f'(ξ1)+…+f'(ξ1)+u1
=(n一1)(u2一u1)+u1，
于是有
【答案解析】