解答题
[2006年] 已知曲线L的方程为
问答题
5.讨论L的凹凸性；
【正确答案】为了讨论凹凸性，必须求出其二阶导数．为解答第(Ⅱ)问，先要求出曲线上点(x0，y0)所对应的参数t0处的斜率，再写出切线方程．所求面积为两曲边梯形面积之差．
解一 求
由参数求导法得
(t＞0)．
y=y(x)的定义域为x∈[1，+∞)，它是连续的，当x＞1(相当于t＞0)时，
＜0，故曲线L是凸的．
解二 将曲线方程写成y=y(x)．
由t=
(x≥1)代入y得y=4
一x+1．于是
=1．
解一 求
由参数求导法得 (t＞0)．y=y(x)的定义域为x∈[1，+∞)，它是连续的，当x＞1(相当于t＞0)时，
＜0，故曲线L是凸的．解二 将曲线方程写成y=y(x)．
由t=
(x≥1)代入y得y=4一x+1．于是=1．【答案解析】
问答题
6.过点(一1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线方程；
【正确答案】解一 设L上切点(x0，y0)对应T=t0＞0(t=0时不合题意)，相应的切线方程为
y一y0=(
一1)(x－x0)．
将(x，y)=(一1，0)代入得
一y0=(
一1)(一1一x0)， 即 t02一4t0=
(一2一t02)，
亦即t02+t0一2=0，则t0=1(t0=一2不合题意)．于是切点是(2，3)，相应的切线方程为y=3+(x一2)，即y=x+1．
解二 L上任意点(x0，y0)处的切线方程为y—y0=(2／
一1)(x—x0)，其中
x0＞1(x0=1不合题意)．令x=一1，y=0，得
一4
+x0一1=(2／
一1)(一1一x0)．
令t0=
y一y0=(
一1)(x－x0)．将(x，y)=(一1，0)代入得
一y0=(
一1)(一1一x0)， 即 t02一4t0=(一2一t02)，亦即t02+t0一2=0，则t0=1(t0=一2不合题意)．于是切点是(2，3)，相应的切线方程为y=3+(x一2)，即y=x+1．
解二 L上任意点(x0，y0)处的切线方程为y—y0=(2／
一1)(x—x0)，其中x0＞1(x0=1不合题意)．令x=一1，y=0，得
一4
+x0一1=(2／一1)(一1一x0)．令t0=
【答案解析】
问答题
7.求此切线与L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形的面积．
【正确答案】解一 如图1．3．5．1所示，设所求平面图形的面积记为S，则
S=
×3×3一∫12y(x)dx=
－∫01(4t一t2)．2tdt
=
．
解二 所求图形面积为
S=
一y(x)dx=
一x+1)dx
=
S=
×3×3一∫12y(x)dx=－∫01(4t一t2)．2tdt=
．解二 所求图形面积为
S=
一y(x)dx=一x+1)dx=
【答案解析】