解答题
[2010年] 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正交变换X=QY下的标准形为y12+y12，且Q的第3列为
问答题
21.求矩阵A；
【正确答案】因二次型f(x1，x2，x3)=XTAX在正定变换X=QY下的标准形为y12+y22，故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=0．又因Q的第3列为
，故λ3=0对应的线性无关的特征向量为η3=
．因A为实对称矩阵，A的不同特征值对应的特征向量正交．令λ1=λ2=1对应的特征向量为α=[x1，x2，x3]T，则αTη3=x1+x3=0．易求得对应于λ1=λ2=1的线性无关的特征向量为α1=[0，1，0]T，α0=[一1，0，1]T．单位化得到
η1=[0，1，0]T，η2=
．
令Q=[η1，η2，η3]，则QTAQ=
，易求得
，故λ3=0对应的线性无关的特征向量为η3=．因A为实对称矩阵，A的不同特征值对应的特征向量正交．令λ1=λ2=1对应的特征向量为α=[x1，x2，x3]T，则αTη3=x1+x3=0．易求得对应于λ1=λ2=1的线性无关的特征向量为α1=[0，1，0]T，α0=[一1，0，1]T．单位化得到η1=[0，1，0]T，η2=
．令Q=[η1，η2，η3]，则QTAQ=
，易求得【答案解析】
问答题
22.证明A+E为正定矩阵．
【正确答案】因A的特征值为1，1，0，故A+E的特征值为1+1=2，1+1=2，1+0=1，它们均大于零．又因A为实对称矩阵，故A+E为正定矩阵．
【答案解析】