选择题
6.设y(x)是初值问题
【正确答案】
C
【答案解析】y”﹢2y’﹢y＝e－x的通解为y＝(C1﹢C2x﹢Ax2)e－x，
其中C1，C2为任意常数，A为某常数，而线性方程的通解为一切解．由此y’＝[(C2－C1)﹢(2A－C2)x－Ax2]e－x，
可见，无论C1，C2，A是什么常数，∫0﹢∞xy’(x)dx都收敛．于是由分部积分法和原给的式子y＝e－x－y”－2y’，可得
∫0﹢∞xy’(x)dx＝∫0﹢∞xdy(x)｜0﹢∞－∫0﹢∞y(x)dx＝0－0－∫0﹢∞[e－x－y”(x)－2y’(x)]dx＝[e－x﹢y’(x)﹢2y(x)]｜0﹢∞＝(0﹢0﹢0)－[1﹢y’(0)﹢2y(0)]＝－1－b－2a．
其中C1，C2为任意常数，A为某常数，而线性方程的通解为一切解．由此y’＝[(C2－C1)﹢(2A－C2)x－Ax2]e－x，
可见，无论C1，C2，A是什么常数，∫0﹢∞xy’(x)dx都收敛．于是由分部积分法和原给的式子y＝e－x－y”－2y’，可得
∫0﹢∞xy’(x)dx＝∫0﹢∞xdy(x)｜0﹢∞－∫0﹢∞y(x)dx＝0－0－∫0﹢∞[e－x－y”(x)－2y’(x)]dx＝[e－x﹢y’(x)﹢2y(x)]｜0﹢∞＝(0﹢0﹢0)－[1﹢y’(0)﹢2y(0)]＝－1－b－2a．