结构推理
设E是n维线性空间，{e1，e2，…，en}是E的一个基，
(αij)(i，j=1，2，…，n)
是正定矩阵，对E中的元素x=∑i=1nxiei及y=∑i=1nyiei，定义
(x,y)=∑i,j=1nαijxiyj， (*)
则(·，·)是E上一个内积(注：正定矩阵的定义，请参考有关线性代数的教科书)。反之，设(·，·)是E上的一个内积，则必存在正定矩阵(αij)使(*)成立。
【正确答案】(·，·)显然是线性的、对称的。再由矩阵(αij)正定，可知(x，x)≥0，当且仅当x=0时“=”成立、(·，·)满足内积定义。
下面证明它的反面。若(·，·)是内积，记
αij=(ei，ej)(i，j=1，2，…，n)，
则
(x，y)=(∑i=1nxiei，∑j=1n(xiei,yjej)=∑i,j=1n(αijxiyj
内积
(x，x)=∑i,j=1nαijxiyj≤0
当且仅当x=0时“=”成立．故矩阵(αij)正定。
【答案解析】