问答题
已知矩阵
与
与
问答题
求x与y；
【正确答案】解1 因A与B相似，故｜λE-A｜=｜λE-B｜，即
[*]
亦即 (λ-2)(λ2-xλ-1)=(λ-2)[λ2+(1-y)λ-y]，
比较上式两端关于λ的同次幂的系数，得x=0，y=1．
△解2 由B知A的全部特征值为λ1=2，λ2=y，λ3=-1，利用特征值的性质，得
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解之即得x=0，y=1．
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亦即 (λ-2)(λ2-xλ-1)=(λ-2)[λ2+(1-y)λ-y]，
比较上式两端关于λ的同次幂的系数，得x=0，y=1．
△解2 由B知A的全部特征值为λ1=2，λ2=y，λ3=-1，利用特征值的性质，得
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解之即得x=0，y=1．
【答案解析】考查相似方阵的性质．利用A与B相似，从而A与B的特征多项式(特征值)相同，由此就可确定A及B中的待定参数，其方法具有普遍性，解2虽然简便，但应注意要确定两个未知数，需要两个独立方程，所以解2的方法有时会失效．
问答题
求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P．
【正确答案】有
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计算可得A的对应于特征值2，1，-1的特征向量分别可取为
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因p1，p2，p3是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关．令矩阵
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则P可逆，且有P-1AP=B．
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计算可得A的对应于特征值2，1，-1的特征向量分别可取为
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因p1，p2，p3是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关．令矩阵
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则P可逆，且有P-1AP=B．
【答案解析】主要考查如何求化A为对角矩阵的相似变换矩阵P，属于常见的基本计算题，这也就是求n阶矩阵A的n个线性无关的特征向量．应注意的是，本题中A的相似对角矩阵B已经给定，因而P的列向量的排列次序必须与B的主对角线上元素的排列次序对应一致．