问答题
设α=[a
1
，a
2
，…，a
n
]
T
≠0，A=αα
T
，求可逆矩阵P，使P
-1
AP=A．
【正确答案】正确答案：设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则 Aξ=αα
T
ξ=λξ． ① 若α
T
ξ=0，则λξ=0,ξ≠0，故λ=0； 若α
T
ξ≠0，①式两端左边乘α
T
， α
T
αα
T
ξ=(α
T
α)α
T
ξ=λ(α
T
ξ)． 因α
T
ξ≠0，故λ=α
T
α=
再求A的对应于λ的特征向量． 当λ=0时，
即解方程 a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=0， 得特征向量为(设a
1
≠0) ξ=[a
2
，一a
1
，0，…，0]
T
， ξ=[a
3
，0，-a
1
，0]
T
， …… ξ
n-1
=[a
n
，0，0，…，一a
1
]
T
再求A的对应于λ的特征向量． 当λ=0时，
即解方程 a
1
x
1
+a
2
x
2
+…+a
n
x
n
=0， 得特征向量为(设a
1
≠0) ξ=[a
2
，一a
1
，0，…，0]
T
， ξ=[a
3
，0，-a
1
，0]
T
， …… ξ
n-1
=[a
n
，0，0，…，一a
1
]
T
【答案解析】