填空题
已知4阶方阵A=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]，α
1
，α
2
，α
3
，α
4
均为4维列向量，其中α
1
，α
2
线性无关，若
β=α
1
+2α
2
－α
3
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=α
1
+3α
2
+α
3
+2α
4
，
则Ax=β的通解为 1．
- 1、
【正确答案】
1、{{*HTML*}}正确答案：
【答案解析】解析：由β=α
1
+2α
2
－α
3
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
=α
1
+3α
2
+α
3
+2α
4
可知
均为Ax=β的解，故β
1
－β
2
=
均为Ax=0的解． 由于α
1
，α
2
线性无关，可知r(A)≥2．又由于Ax=0有两个线性无关的解β
1
－β
2
，β
3
－β
4
，可知Ax=0的基础解系中至少含有两个向量，也即4－r(A)≥2，即r(A)≤2． 综上，r(A)=2，Ax=0的基础解系中含有两个线性无关的向量，故β
1
－β
2
，β
2
－β
3
即为Ax=0的基础解系．故Ax=β的通解为
均为Ax=β的解，故β
1
－β
2
=
均为Ax=0的解． 由于α
1
，α
2
线性无关，可知r(A)≥2．又由于Ax=0有两个线性无关的解β
1
－β
2
，β
3
－β
4
，可知Ax=0的基础解系中至少含有两个向量，也即4－r(A)≥2，即r(A)≤2． 综上，r(A)=2，Ax=0的基础解系中含有两个线性无关的向量，故β
1
－β
2
，β
2
－β
3
即为Ax=0的基础解系．故Ax=β的通解为