解答题
21.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且
试证：(Ⅰ)存在
试证：(Ⅰ)存在
【正确答案】(Ⅰ)只需作出辅助函数φ(x)=f(x)一x，利用介值定理证之；
(Ⅱ)对于中值等式f′(ξ)一λf(ξ)=0，常作辅助函数F(x)一f(x)e-λx证之．将待证等式右边的1看成ξ′，则待证等式可化为
f′(ξ)一ξ′一λ[f(ξ)一ξ]=[f(ξ)一ξ]′一λ[f(ξ)一ξ]．
于是易想到作辅助函数
F(x)=e-λx[f(x)一x]，
利用罗尔定理证之．
证 (Ⅰ)令φ(x)=f(x)一x．则φ(x)在[0，1]上连续，又
故由介值定理知，存在
(Ⅱ)对于中值等式f′(ξ)一λf(ξ)=0，常作辅助函数F(x)一f(x)e-λx证之．将待证等式右边的1看成ξ′，则待证等式可化为
f′(ξ)一ξ′一λ[f(ξ)一ξ]=[f(ξ)一ξ]′一λ[f(ξ)一ξ]．
于是易想到作辅助函数
F(x)=e-λx[f(x)一x]，
利用罗尔定理证之．
证 (Ⅰ)令φ(x)=f(x)一x．则φ(x)在[0，1]上连续，又
故由介值定理知，存在
【答案解析】