选择题
2.已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )．
【正确答案】
C
【答案解析】因为
(α1+α2)一(α2一α3)一(α3一α4)一(α4+α1)=0，
所以向量组(A)线性相关．
若令
β1=α1+α2，β2=α1—2α3，β3=α1+α2—α3，βi=5α2+α3．
则β1，β2，β3，β4可由α1，α2，α3线性表示，即多数向量可由少数向量线性表示，因此β1，β2，β3，β4线性相关，即向量组(B)线性相关．
关于(C)，由α1，α2，α3，α4线性无关知，α1，α2，α3线性无关．若令
β1=α1+α2+α3， β2=α1－α2+α3， β3=α1+3α2+9α3，
则 [β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]
因为
是范德蒙行列式，不为0，所以
r(β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3)=3，
即向量组(C)线性无关，故仅(C)入选．因
[α1+α3，α2+2α3+α4，α1+2α3+α4，α2+3α3+2α4]
=[α1，α2，α3，α4]
(α1+α2)一(α2一α3)一(α3一α4)一(α4+α1)=0，
所以向量组(A)线性相关．
若令
β1=α1+α2，β2=α1—2α3，β3=α1+α2—α3，βi=5α2+α3．
则β1，β2，β3，β4可由α1，α2，α3线性表示，即多数向量可由少数向量线性表示，因此β1，β2，β3，β4线性相关，即向量组(B)线性相关．
关于(C)，由α1，α2，α3，α4线性无关知，α1，α2，α3线性无关．若令
β1=α1+α2+α3， β2=α1－α2+α3， β3=α1+3α2+9α3，
则 [β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]
因为
是范德蒙行列式，不为0，所以r(β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3)=3，
即向量组(C)线性无关，故仅(C)入选．因
[α1+α3，α2+2α3+α4，α1+2α3+α4，α2+3α3+2α4]
=[α1，α2，α3，α4]