【正确答案】 C

【答案解析】对选项①：用反证法，如果f(x)在(a，b)内没有拐点，则f(x)在(a，b)内都是上凸的，或者都是下凸的．即f'(x)在(a，b)内是单调减的，或者f'(x)在(a，b)内是单调增的．因此f'(x)在(a，b)至多有一个零点．但由条件f'+(a)·f'-(b)＞0和f(a)=f(b)=0，可推出f(x)在(a，b)内至少还有一个零点，即f(x)在[a，b]内至少有三个零点，因此，f'(x)在(a，b)内至少有两个零点，这与f'(x)在(a，b)内单调矛盾．因此①正确． 选项②③：f(x)在[a，b]上连续f(x)在[a，b]上有最大、最小点； f(a)=f(b)和f'(a)·f'(b)＞0最大最小点不在端点； 区间内的最大值、最小值点必是极大值、极小值点f(x)在(a，b)内必有极大值点和极小值点，②③正确． 对于选项④：不正确，可举反例： 函数 满足条件：在[a，b]上可导，且f'+(a)·f'-(b)＞0和f(a)=f(b)=0．其导函数为 显然它在x=0点附近有无穷多个极值点．