问答题
设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，已知E
m
+AB可逆．
(Ⅰ)验证E n +BA可逆，且(E n +BA) -1 =E n -B(E m +AB) -1 A；
(Ⅱ)设
(Ⅰ)验证E n +BA可逆，且(E n +BA) -1 =E n -B(E m +AB) -1 A；
(Ⅱ)设
【正确答案】
【答案解析】证 在不存在歧义的情况下，简化记号，省略E的下标m，n．
(Ⅰ)因(E+BA)[E-B(E+AB) -1 A]
=E+BA-B(E+AB) -1 A-BAB(E+AB) -1 A
=E+BA-B(E+AB)(E+AB) -1 A=E+BA-BA=E，
故E+BA可逆，且(E+BA) -1 =E-B(E+AB) -1 A．
(Ⅱ)
由(Ⅰ)知E+AB可逆，则E+BA可逆，且(E+BA) -1 =E-B(E+AB) -1 A，
反之若E+BA可逆，则E+AB可逆，且(E+AB) -1 =E-A(E+AB) -1 B．
因为E+BA=E+(b 1 ，b 2 ，b 3 )(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T =E+a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ]=E+0=E，
故E+BA可逆，(E+BA) -1 =E．
故W=E+AB可逆，且
W -1 =E-A(E+BA) -1 B=E-(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ·E·(b 1 ，b 2 ，b 3 )
(Ⅰ)因(E+BA)[E-B(E+AB) -1 A]
=E+BA-B(E+AB) -1 A-BAB(E+AB) -1 A
=E+BA-B(E+AB)(E+AB) -1 A=E+BA-BA=E，
故E+BA可逆，且(E+BA) -1 =E-B(E+AB) -1 A．
(Ⅱ)
由(Ⅰ)知E+AB可逆，则E+BA可逆，且(E+BA) -1 =E-B(E+AB) -1 A，
反之若E+BA可逆，则E+AB可逆，且(E+AB) -1 =E-A(E+AB) -1 B．
因为E+BA=E+(b 1 ，b 2 ，b 3 )(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T =E+a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 ]=E+0=E，
故E+BA可逆，(E+BA) -1 =E．
故W=E+AB可逆，且
W -1 =E-A(E+BA) -1 B=E-(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ·E·(b 1 ，b 2 ，b 3 )