【正确答案】作变量代换u=e^xcosy将所给方程化为z对u的导数的新方程，解之即可求得f(u)的表达式．
令u=e^xcosy，则z=f(e^xcosy)可看成是z=f(u)与u=e^xcosy的复合函数．先应用复合函数求导法则将z对x，y的偏导数所满足的方程化为z对u的导数所满足的方程：
=f′(u)e^xcosy，=f′(u)(一e^xsiny)，
[f′(u)e^xcosy]=f″(u)e^xcosy+f′(u)e^xcosy
=f″(u)e^2xcos²y+f′(u)e^xcosy， ①
[f′(u)(一e^xsiny)]=一f″(u)e^xsiny－e^xcosyf′(u)
=f″(u)esiny·e^xsiny·e^x－f′(u)e^xcosy=f″(u)e^2xsin²y—f′(u)e^xcosy． ②
由式①+式②得到=f″(u)e^2x，代入原方程得到f″(u)e^2x=[4f(u)+u]e^2x，
即 f″(u)一4f(u)=u ③
于是求f(u)转化为解下述初值问题：
其中y=f(u)．
其对应的特征方程为λ²一4=0，其特征值为λ=±2，从而其对应的齐次方程的通解为
Y=C₁e^2u+C₂e^-2u，其中c₁，c₂为任意常数．
又由观察法易看出y″一4y=u的一个特解为y^*=一u，显然y^*=一u满足上述方程，于是方程③的通解为 y=Y+y^*=c₁e^2u+c₂e^-2u一u．
由初始条件y(0)=0，y′(0)=0得到c₁+c₂=0，2c₁一2c₂一=0，解得c₁=,c₂=一
综上得到f(u)的表达式为f(u)=