解答题
8.设
(Ⅰ)求f'(x)；
(Ⅱ)证明：x=0是f(x)的极大值点；
(Ⅲ)令xn=
，考察f'(xn)是正的还是负的，n为非零整数；
(Ⅳ)证明：对
(Ⅰ)求f'(x)；
(Ⅱ)证明：x=0是f(x)的极大值点；
(Ⅲ)令xn=
，考察f'(xn)是正的还是负的，n为非零整数；(Ⅳ)证明：对
【正确答案】(Ⅰ)当x≠0时按求导法则得
当x=0时按导数定义得
(Ⅱ)由于f(x)-f(0)=-x2
＜0(x≠0)，即f(x)＜f(0)，于是由极值的定义可知x=0是f(x)的极大值点．
(Ⅲ)令xn=
(n=±1，±2，±3，…)，则sin
=(-1)n，于是
f'(xn)=
(Ⅳ)对
＞0，当n为
负奇数且｜n｜充分大时xn∈(-δ，0)，f'(xn)＜0
f(x)在(-δ，0)不单调上升；当n为正偶数且n充分大时xn∈(0，δ)，f'(xn)＞0
当x=0时按导数定义得
(Ⅱ)由于f(x)-f(0)=-x2
＜0(x≠0)，即f(x)＜f(0)，于是由极值的定义可知x=0是f(x)的极大值点．(Ⅲ)令xn=
(n=±1，±2，±3，…)，则sin=(-1)n，于是f'(xn)=
(Ⅳ)对
＞0，当n为负奇数且｜n｜充分大时xn∈(-δ，0)，f'(xn)＜0f(x)在(-δ，0)不单调上升；当n为正偶数且n充分大时xn∈(0，δ)，f'(xn)＞0【答案解析】