问答题
三个矢量A、B、C，A=sinθcosφe
r
+cosθcosφe
θ
—sinφe
φ
，B=z
2
sinφe
ρ
+z
2
cosφe
φ
+2ρzsinφe
z
，C=(3y
2
-2x)e
x
+x
2
e
y
+2ze
z
。(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示?(2)求出这些矢量的源分布。
【正确答案】正确答案：(1)证明：A=sinθcosφe
r
+cosθcosφe
θ
-sinφe
φ
故矢量既可用标量函数的梯度表示，又可用矢量函数的旋度来表示。
×A=0则A可由一个标量函数的梯度表示；
.A=0则A可由一个矢量函数的旋度表示。 圆柱坐标系中 B=z
2
sinφe
p
+z
2
cosφe
φ
+2ρzsinφe
z
故矢量B可用一个标量函数的梯度表示。 直角坐标系中： C=(3y
2
一2x)e
x
+x
2
e
y
+2ze
z
故C可以由一个矢量函数的旋度表示。 (2)这些矢量的源分布为
故矢量既可用标量函数的梯度表示，又可用矢量函数的旋度来表示。
×A=0则A可由一个标量函数的梯度表示；
.A=0则A可由一个矢量函数的旋度表示。 圆柱坐标系中 B=z
2
sinφe
p
+z
2
cosφe
φ
+2ρzsinφe
z
故矢量B可用一个标量函数的梯度表示。 直角坐标系中： C=(3y
2
一2x)e
x
+x
2
e
y
+2ze
z
故C可以由一个矢量函数的旋度表示。 (2)这些矢量的源分布为
【答案解析】