问答题
设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f"(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f"(x)+x
2
y]dy=0为一个全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．
【正确答案】
【答案解析】[解]方程为全微分方程的充要条件
即x 2 +2xy-f(x)=f"(x)+2xy
f"(x)+f(x)=x
2
，
特征方程为λ 2 +1=0，λ=±i，非齐次方程的一个特解为
故f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 -2．
将f(0)=0，f"(0)=1代入求出C 1 =2，C 2 =1，
于是f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2．
原方程
[xy
2
-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x
2
y)dy=0，利用分项组合法
即x 2 +2xy-f(x)=f"(x)+2xy
f"(x)+f(x)=x
2
，
特征方程为λ 2 +1=0，λ=±i，非齐次方程的一个特解为
故f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 -2．
将f(0)=0，f"(0)=1代入求出C 1 =2，C 2 =1，
于是f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2．
原方程
[xy
2
-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x
2
y)dy=0，利用分项组合法