【正确答案】必要性：设B^TAB是正定矩阵，则对任意的X≠0，X^TB^TABX=(BX)^TA(BX)＞0，所以BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组BX=0只有零解，所以r(B)=n．
充分性：反之，设r(B)=n，则对任意的X≠0，有BX≠0，
因为A为正定矩阵，所以X^T(B^TAB)X=(BX)^TA(BX)＞0，
因为(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB，所以B^TAB为对称矩阵，
所以B^TAB为正定矩阵．