问答题
设X，Y，Z是Banach空间，G∈BL(X，Z)和H∈BL(Y，Z)。设对X中的每个x，方程G(x)=H(y)在Y中有唯一解y。证明由此定义的映射F：X→Y，F(x)=y，在BL(X，Y)中。
【正确答案】由题设条件知F：X→Y的定义是有意义的。设F(x1)=y1，F(x2)=y2，则
G(kx1+x2)=kG(x1)+G(x2)=kH(y1)+H(y2)=H(ky1+y2)
所以
F(kx1+x2)=ky1+y2=kF(x1)+F(x2)
所以F是线性的。为了证明F是连续的。只要证F的图像是闭的即可。设在X中xn→x且在Y中F(xn)→y。若F(xn)=yn，则G(xn)=H(yn)。因为G和H都是连续的，所以
G(xn)→G(x)，H(yn)→H(y)
因此有G(x)=H(y)，即F(x)=y。所以F的图像是闭的。
【答案解析】