解答题
18.已知三角形周长为2p，试求次三角形绕自己的一边旋转时所构成的旋转体的体积的最大值．
【正确答案】 设三角形的三个边长分别为BC=x，AC=y，AB=z，不妨设它绕AC边旋转，AC边上的高为h，三角形的面积为S，于是
而旋转体的体积为
其中x+y+z=2p．
为了计算简便，对上述的V取对数以后再求最大值点．即求u(x，y，z)=ln(p一x)+ln(p—y)+ln(p—z)一ln y在条件x+y+z=2p之下的最大值点．
设L(x，y，z，λ)=ln(p一x)+ln(p一y)+ln(p—z)一ln y+λ(x+y+z一2p)．
故由实际意义它就是u(x，y，z)的最大值点，也就是V的最大值点．因此所求的体积的最大值为
而旋转体的体积为
其中x+y+z=2p．
为了计算简便，对上述的V取对数以后再求最大值点．即求u(x，y，z)=ln(p一x)+ln(p—y)+ln(p—z)一ln y在条件x+y+z=2p之下的最大值点．
设L(x，y，z，λ)=ln(p一x)+ln(p一y)+ln(p—z)一ln y+λ(x+y+z一2p)．
故由实际意义它就是u(x，y，z)的最大值点，也就是V的最大值点．因此所求的体积的最大值为
【答案解析】