解答题
26.[2008年] 设f(x)是连续函数．当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt—x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数．
【正确答案】证一 因f(x)是周期为2的连续函数，故对任意实数x，有∫xx+2f(t)dt=∫02f(t)dt．
下面用定义证G(x)为周期为2的周期函数，即证G(x+2)=G(x)．
G(x+2)=2∫0x+2f(t)dt一(x+2)∫02f(t)dt=∫0x+22f(t)dt—2∫02f(t)dt一x∫02f(t)dt
=2(∫0x+2f(t)dt+∫20f(t)dt)一x∫02f(t)dt=2∫2x+2f(t)dt—x02f(t)dt
=2∫2x+2f(t一2)d(t一2)一x∫02f(t)dt
下面用定义证G(x)为周期为2的周期函数，即证G(x+2)=G(x)．
G(x+2)=2∫0x+2f(t)dt一(x+2)∫02f(t)dt=∫0x+22f(t)dt—2∫02f(t)dt一x∫02f(t)dt
=2(∫0x+2f(t)dt+∫20f(t)dt)一x∫02f(t)dt=2∫2x+2f(t)dt—x02f(t)dt
=2∫2x+2f(t一2)d(t一2)一x∫02f(t)dt
【答案解析】